1種類の積み木をいくら積んでも、全体の模様がくり返さない立体が見つかる

平面では見つかった「くり返さないタイル」

くり返さない並びとして知られるペンローズタイルが敷かれた床です(オックスフォード大学の数学研究所の入り口)。数学者たちが探してきたのは、こうしたくり返さない並びを、1種類だけの形で作ることでした。Credit: Pierre Marshall / Wikimedia Commons（CC0）

数学者たちが探してきたのは、1種類だけですき間も重なりもなく敷き詰められ、全体ではくり返さない形(非周期的モノタイル)です。

小さな模様が所々で何度か現れることは、構いません。

禁じられているのは、敷き詰め全体を少しでもずらしたとき、元とぴったり同じ並びに戻ることです。

平面では2023年、13の辺をもつ「帽子(ハット)」タイルが、初めての本物の例として証明されました。

同じ年には、「スペクター」と呼ばれる別のタイルも報告されています。

「スペクター」で平面を、くり返さないように敷き詰めた図です。スペクターは、帽子タイルを見つけたチームがその数か月後に報告した、帽子タイルの仲間の形です。Credit: David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan, and Chaim Goodman-Strauss, 2023 / Wikimedia Commons（CC BY-SA 4.0）

次の目標は、3次元の空間で同じことができる立体でした。

ところが立体には、平面にはない抜け道があります。

それは、回転しながら少しずつ進む、らせん階段のような動き(らせん運動)です。

これまでにも候補の立体はありましたが、積み重ねる向きに沿ったくり返しが残っていました。

あるいは、全体がらせん状に回りながらずれて重なる対称を、許していました。

たとえば「シュミット・コンウェイ・ダンツァーの双角柱」という立体は、限られた大きさの単位をくり返すような敷き詰めはできません。

しかし、無限に続くらせん状の対称をもつ敷き詰めは、許してしまうのです。

求められていたのは、表面に印を描いたり、組み立ての決まりを足したりせずに、形だけでくり返しを封じる、ひとつながりの立体でした。